Set ini mempunyai dua belas soalan asli, daripada yang mudah kepada yang sukar, dan meliputi kelima-lima pelajaran dalam luas dan gerakan. Soalan 1 hingga 4 ialah luas biasa. Soalan 5 hingga 7 melibatkan punca dan perubahan tanda.
Soalan 8 dan 9 ialah sesaran dan jarak. Soalan 10 hingga 12 mencampurkan seluruh rantai.
Cuba setiap soalan di atas kertas sebelum membuka jawapan. Tulis had, hasil kamiran dan setiap penggantian sebagai baris berasingan.
Tandakan soalan yang salah, kemudian gunakan senarai di hujung halaman untuk tahu pelajaran mana yang perlu diulang. Log kesilapan dan baris ujian semula boleh menyimpan jenis kesilapan untuk diuji semula kemudian.
Soalan
1. Cari luas antara y = x², paksi-x, x = 0 dan x = 3.
Tunjukkan jawapan
F(x) = x³/3. F(3) = 9 dan F(0) = 0.
9 unit persegi
2. Cari luas antara y = 4x³ + 1, paksi-x, x = 1 dan x = 2.
Tunjukkan jawapan
F(x) = x⁴ + x. F(2) = 16 + 2 = 18 dan F(1) = 1 + 1 = 2.
18 − 2 = 16 unit persegi
3. Cari luas antara y = 3√x, paksi-x, x = 1 dan x = 4.
Tunjukkan jawapan
Tulis 3√x sebagai 3x1/2. F(x) = 2x3/2.
F(4) = 2 × 8 = 16 dan F(1) = 2 × 1 = 2.
16 − 2 = 14 unit persegi
4. Cari luas antara y = 1/x², paksi-x, x = 1 dan x = 4.
Tunjukkan jawapan
Tulis 1/x² sebagai x−2. F(x) = −x−1 = −1/x.
F(4) = −1/4 dan F(1) = −1.
−1/4 − (−1) = 3/4 unit persegi
5. Lengkung y = x² − 6x + 8 menyentuh paksi-x pada dua titik. Cari luas yang dikelilingi antara lengkung dan paksi-x.
Tunjukkan jawapan
Selesaikan (x − 2)(x − 4) = 0, jadi punca ialah x = 2 dan x = 4. Lengkung di bawah paksi antara kedua-duanya.
F(x) = x³/3 − 3x² + 8x. F(4) = 64/3 − 48 + 32 = 16/3. F(2) = 8/3 − 12 + 16 = 20/3.
F(4) − F(2) = −4/3. Luasnya ialah nilai positif.
4/3 unit persegi
6. Bagi lengkung yang sama y = x² − 6x + 8, cari jumlah luas antara lengkung dan paksi-x dari x = 0 hingga x = 4.
Tunjukkan jawapan
Punca x = 2 berada dalam selang, jadi pecahkan di situ. Gunakan F(x) = x³/3 − 3x² + 8x dengan F(0) = 0, F(2) = 20/3, F(4) = 16/3.
Dari 0 ke 2: 20/3 − 0 = 20/3, di atas paksi.
Dari 2 ke 4: 16/3 − 20/3 = −4/3, jadi luasnya 4/3.
Jumlah = 20/3 + 4/3 = 24/3 = 8 unit persegi.
Perhatikan bahawa satu kamiran dari 0 ke 4 akan memberi 16/3, yang salah untuk luas.
7. Tunjukkan bahawa kamiran y = x³ − x dari x = −1 hingga x = 1 ialah 0, kemudian cari jumlah luas antara lengkung dan paksi-x.
Tunjukkan jawapan
F(x) = x⁴/4 − x²/2. F(−1) = 1/4 − 1/2 = −1/4, F(0) = 0, F(1) = −1/4.
Seluruh selang: F(1) − F(−1) = −1/4 − (−1/4) = 0.
Puncanya ialah x = −1, 0 dan 1, jadi pecahkan pada 0. Dari −1 ke 0: 0 − (−1/4) = 1/4. Dari 0 ke 1: −1/4 − 0 = −1/4, jadi luasnya 1/4.
Jumlah luas = 1/4 + 1/4 = 1/2 unit persegi
8. Zarah bergerak pada garis lurus dengan halaju v = 6t − 2 m/s. Cari sesarannya dari t = 0 hingga t = 3.
Tunjukkan jawapan
F(t) = 3t² − 2t. F(3) = 27 − 6 = 21 dan F(0) = 0.
Sesaran = 21 m
9. Zarah mempunyai halaju v = 2t − 6 m/s untuk 0 ≤ t ≤ 5. Cari sesarannya dan jarak yang dilaluinya.
Tunjukkan jawapan
v = 0 pada t = 3, dalam selang. s = t² − 6t, jadi s(0) = 0, s(3) = 9 − 18 = −9, s(5) = 25 − 30 = −5.
Sesaran = s(5) − s(0) = −5 m.
Dari 0 ke 3 zarah bergerak 9 m ke arah negatif. Dari 3 ke 5 ia bergerak −5 − (−9) = 4 m ke arah positif.
Jarak = 9 + 4 = 13 m
10. Zarah mempunyai pecutan a = 2t − 4 m/s². Apabila t = 0 halajunya 3 m/s. Cari halajunya apabila t = 5, dan masa ia rehat seketika.
Tunjukkan jawapan
v = t² − 4t + c. Pada t = 0, v = 3, jadi c = 3. Maka v = t² − 4t + 3.
Pada t = 5: v = 25 − 20 + 3 = 8 m/s.
v = (t − 1)(t − 3) = 0, jadi zarah rehat pada t = 1 dan t = 3.
11. Teruskan dengan zarah dalam soalan 10, dan andaikan ia bermula dari asalan O. Cari kedudukannya pada t = 3 dan jarak yang dilaluinya dari t = 0 hingga t = 3.
Tunjukkan jawapan
s = t³/3 − 2t² + 3t, dengan s(0) = 0.
s(1) = 1/3 − 2 + 3 = 4/3. s(3) = 9 − 18 + 9 = 0.
Kedudukan pada t = 3 ialah 0 m, jadi ia kembali ke O.
Dari 0 ke 1 ia bergerak 4/3 m ke hadapan. Dari 1 ke 3 ia bergerak 4/3 m ke belakang, kerana v negatif antara 1 dan 3 (contohnya v(2) = −1).
Jarak = 4/3 + 4/3 = 8/3 m (2⅔ m), manakala sesarannya 0.
12. Zarah mempunyai kedudukan s = t³ − 9t² + 24t meter dari O untuk t ≥ 0. Cari halaju dan pecutannya pada setiap masa ia rehat, kemudian cari jarak yang dilaluinya dari t = 0 hingga t = 5.
Tunjukkan jawapan
v = 3t² − 18t + 24 = 3(t − 2)(t − 4), jadi v = 0 pada t = 2 dan t = 4. a = 6t − 18.
Pada t = 2: a = −6 m/s². Pada t = 4: a = 6 m/s².
Kedudukan: s(0) = 0, s(2) = 8 − 36 + 48 = 20, s(4) = 64 − 144 + 96 = 16, s(5) = 125 − 225 + 120 = 20.
Dari 0 ke 2: 20 m ke hadapan. Dari 2 ke 4: 4 m ke belakang. Dari 4 ke 5: 4 m ke hadapan.
Jarak = 20 + 4 + 4 = 28 m, dan sesarannya 20 m.
Jika anda tersilap
Cari jenis kesilapan anda, kemudian ulang kaji pelajaran yang berkaitan.
- Soalan 1 hingga 4, luas salah atau terlupa had bawah: ulang kaji mencari luas antara lengkung dan paksi. Tulis F(atas) − F(bawah) setiap kali.
- Soalan 5 hingga 7, luas menjadi sifar atau terlalu kecil: ulang kaji memecahkan selang apabila luas bertanda berubah. Selesaikan y = 0 dan lakar sebelum mengamir.
- Soalan 8 dan 10, halaju didarab masa atau operasi salah: ulang kaji mengira sesaran daripada halaju, kemudian menghubungkan kedudukan, halaju dan pecutan.
- Soalan 9, 11 dan 12, jarak sama dengan sesaran: ulang kaji membezakan jarak yang dilalui daripada sesaran. Senaraikan masa v = 0 dahulu.
- Soalan 10 hingga 12, pemalar tertinggal atau rantai ke arah salah: ulang kaji menghubungkan kedudukan, halaju dan pecutan.
- Kesilapan pecahan dalam had: berlatih dengan latihan kerja tanpa kalkulator, dan gunakan penjelajah struktur kuadratik untuk menyemak punca.
Apabila kesilapan yang sama berulang dalam beberapa soalan, guru yang ditugaskan dalam tuisyen Matematik Tambahan dalam talian satu dengan satu boleh membantu anda mencari tabiat di sebaliknya.