Menulis semula dengan identiti bermaksud menggantikan sebahagian ungkapan dengan ungkapan trigonometri yang sama nilai supaya keseluruhannya lebih mudah. Kemahiran ini muncul dalam soalan permudahan, soalan “ungkapkan dalam sebutan” dan di permulaan kebanyakan pembuktian serta persamaan. Kuncinya ialah mengenal set kecil identiti dan apa yang boleh ditukar oleh setiap satu.
Pelajaran ini sebahagian daripada identiti trigonometri.
Dengan identiti manakah anda menulis semula?
Mulakan daripada satu fakta: bagi sebarang sudut, sin²x + kos²x = 1. Daripadanya, tiga penukaran berguna terhasil.
- sin²x = 1 − kos²x
- kos²x = 1 − sin²x
- Bahagi identiti utama dengan kos²x untuk mendapat 1 + tan²x = sek²x, dan dengan sin²x untuk mendapat 1 + kot²x = kosek²x
Dalam peperiksaan, nama fungsi ialah cos, sec, cosec dan cot. Anda juga perlu takrifan: tan x = sin x / kos x, sek x = 1 / kos x, kosek x = 1 / sin x dan kot x = kos x / sin x.
Bagaimana memilih penukaran?
- Tentukan sasaran. Adakah soalan mahu satu fungsi sahaja, atau pecahan yang lebih ringkas?
- Cari kuasa dua yang boleh ditukar. Kuasa dua bagi sin, kos, tan, sek, kosek dan kot ialah calon penukaran.
- Gantikan dengan identiti yang sepadan. Tulis kurungan dengan jelas supaya tanda terbawa dengan betul.
- Kembangkan dan kumpulkan. Habiskan dengan algebra biasa. Jika sebutan kuadratik dalam sin x muncul, anda boleh memperlakukannya seperti kuadratik biasa (lihat penjelajah struktur kuadratik).
Contoh berlangkah
Ungkapkan 5kos²θ + 2sin²θ dalam sebutan sin θ sahaja.
Langkah 1, sasaran: hanya sin θ boleh kekal, jadi kos²θ mesti ditukar.
Langkah 2, tukar: kos²θ = 1 − sin²θ, maka ungkapan ialah 5(1 − sin²θ) + 2sin²θ.
Langkah 3, kembang: 5 − 5sin²θ + 2sin²θ.
Langkah 4, kumpul: 5 − 3sin²θ.
Semak dengan θ = 30°: ungkapan asal ialah 5 × 0.75 + 2 × 0.25 = 4.25, dan jawapan ialah 5 − 3 × 0.25 = 4.25. Kedua-duanya sama.
Kesilapan yang perlu diawasi
Kesilapan lazim ialah tertinggal kuasa dua apabila menggunakan identiti.
Penyelesaian yang silap: 1 − sin²x = kos x
Pelajar mengingat “1 tolak sin kuasa dua ialah kos” dan terlupa kuasanya.
Uji pada x = 60°: 1 − sin²60° = 0.25, tetapi kos 60° = 0.5.
Pernyataan yang betul ialah 1 − sin²x = kos²x, kerana 0.25 = 0.5². Apabila anda menyusun semula sin²x + kos²x = 1, kuasa dua sentiasa kekal.
Semak sendiri
1. Tulis 4 − 4kos²x sebagai satu sebutan.
Tunjukkan jawapan
4 − 4kos²x = 4(1 − kos²x) = 4sin²x.
2. Tulis 2tan²x + 3 dalam sebutan sek x.
Tunjukkan jawapan
tan²x = sek²x − 1, maka 2(sek²x − 1) + 3 = 2sek²x − 2 + 3 = 2sek²x + 1.
3. Diberi sin θ = 3/5 dan θ ialah sudut tirus, cari kos θ dan tan θ.
Tunjukkan jawapan
kos²θ = 1 − 9/25 = 16/25. Oleh sebab θ sudut tirus, kos θ positif, maka kos θ = 4/5. Kemudian tan θ = (3/5) ÷ (4/5) = 3/4.
Ke mana seterusnya?
Apabila penulisan semula terasa semula jadi, teruskan ke membuktikan identiti tanpa menganggap jawapan akhir, yang menggunakan penukaran yang sama baris demi baris. Pelatih kerja tanpa kalkulator berguna untuk melatih algebra tanpa kalkulator.
Sesetengah pelajar mengikut setiap penukaran di dalam kelas tetapi kaku apabila bertemu soalan yang belum pernah dilihat. Guru kami boleh melatih anda memilih identiti yang sesuai dalam tuisyen Matematik Tambahan dalam talian satu dengan satu.