Untuk menyelesaikan pasangan linear dan kuadratik, gantikan persamaan linear ke dalam persamaan kuadratik, susun semula supaya kuadratik sama dengan sifar, selesaikannya, kemudian cari setiap y yang sepadan daripada persamaan linear. Jawapannya ialah koordinat, jadi ia datang berpasangan.
Semak sukatan pelajaran Cambridge terkini untuk tahun peperiksaan anda, supaya anda tahu sama ada topik ini perlu dipelajari. Kaedah penggantian di sini sama seperti dalam memilih penggantian apabila satu pemboleh ubah berasingan.
Mengapa jawapannya dua titik?
Garis lurus bertemu parabola pada sifar, satu atau dua titik. Apabila dua ungkapan y disamakan, kita mendapat nilai x di mana kedua-dua ketinggian itu sama.
Persamaan yang terhasil ialah kuadratik, jadi ia boleh mempunyai dua punca. Setiap punca ialah koordinat x bagi satu persilangan, dan garis lurus memberi ketinggian y di situ.
Kaedah, langkah demi langkah
- Jadikan kedua-dua persamaan “y = …” atau susun semula satu supaya begitu.
- Samakan ungkapan satu sama lain.
- Pindahkan semuanya ke satu belah supaya persamaan menjadi ax² + bx + c = 0.
- Selesaikan dengan pemfaktoran, atau dengan rumus jika pemfaktoran gagal.
- Gantikan setiap x ke dalam persamaan linear untuk mencari y.
- Tulis pasangan koordinat dan semak setiap satu dalam kuadratik.
Contoh berlangkah
Selesaikan pasangan: y = x² − 4x + 3 dan y = x − 1
Langkah 1, samakan: x² − 4x + 3 = x − 1.
Langkah 2, susun semula: tolak x dan tambah 1 pada kedua-dua belah: x² − 5x + 4 = 0.
Langkah 3, faktorkan: (x − 1)(x − 4) = 0, jadi x = 1 atau x = 4.
Langkah 4, cari y menggunakan garis: apabila x = 1, y = 1 − 1 = 0. Apabila x = 4, y = 4 − 1 = 3.
Langkah 5, semak dalam lengkung: pada x = 1, 1 − 4 + 3 = 0, sama. Pada x = 4, 16 − 16 + 3 = 3, sama.
Jawapan: (1, 0) dan (4, 3).
Kesilapan yang perlu diawasi
Kesilapan lazim ialah memadankan x dan y mengikut urutan, bukan dengan penggantian, atau menulis nilai x sahaja.
Jawapan yang salah: “x = 1 dan x = 4, jadi titiknya ialah (1, 3) dan (4, 0).”
Pelajar memasangkan x dengan y yang salah. Titik (1, 3) tidak berada pada garis, kerana 1 − 1 = 0.
Gantikan setiap x secara berasingan ke dalam persamaan linear, dan terus tulis pasangannya. Kesilapan kedua ialah silap tanda semasa memindahkan sebutan ke seberang tanda sama. Tulis setiap pemindahan di tepi baris, misalnya “−x, +1”.
Semak diri anda
Cuba di atas kertas, kemudian buka setiap jawapan.
1. Selesaikan y = 2x dan y = x² − 3.
Lihat jawapan
Samakan: x² − 3 = 2x, jadi x² − 2x − 3 = 0. Faktorkan: (x − 3)(x + 1) = 0, maka x = 3 atau x = −1. Menggunakan y = 2x memberi y = 6 dan y = −2. Semak (3, 6): 9 − 3 = 6, sama. Semak (−1, −2): 1 − 3 = −2, sama.
(3, 6) dan (−1, −2)
2. Selesaikan y = x + 6 dan y = x².
Lihat jawapan
Samakan: x² = x + 6, jadi x² − x − 6 = 0. Faktorkan: (x − 3)(x + 2) = 0, maka x = 3 atau x = −2. Menggunakan y = x + 6 memberi y = 9 dan y = 4. Semak (−2, 4): (−2)² = 4, sama.
(3, 9) dan (−2, 4)
3. Selesaikan y = 2x − 1 dan y = x². Apakah yang hasilnya beritahu tentang garis dan lengkung itu?
Lihat jawapan
Samakan: x² = 2x − 1, jadi x² − 2x + 1 = 0. Ini terfaktor sebagai (x − 1)² = 0, maka x = 1 ialah punca berulang. Kemudian y = 2(1) − 1 = 1. Semak: 1² = 1, sama.
Satu penyelesaian sahaja, (1, 1). Garis hanya menyentuh lengkung pada satu titik, iaitu garis tangen (tangent).
Langkah seterusnya
Selepas ini, mengesan syarat tidak konsisten menunjukkan apa yang berlaku apabila persamaan tiada penyelesaian bersama. Penjelajah struktur kuadratik memaparkan parabola dan garis lurus pada satu graf. Cuba set latihan hubungan serentak untuk mencampurkan semua kes.
Ramai pelajar boleh melakukan algebra di sini, tetapi kehilangan markah kerana langkah tidak teratur atau x dan y tersalah pasang. Dalam tuisyen Matematik dalam talian secara satu dengan satu, guru boleh menyemak kerja bertulis anda baris demi baris.