当你认出表达式的结构时，冗长的式子就会变简单：平方差、公因式、重复出现的幂次。这项技能出现在分式、指数和精确运算中，也支撑着进阶免计算器推理的其余部分。
应该找哪些结构？
四种模式涵盖大多数情况：
- 公因式： 6x + 12 = 6(x + 2)。
- 平方差： x² − 9 = (x − 3)(x + 3)。
- 可分解的二次式： x² − x − 12 = (x − 4)(x + 3)。
- 指数中的公共幂次： 2ⁿ⁺³ = 2ⁿ × 8，所以 2ⁿ⁺³ − 2ⁿ⁺¹ = 2ⁿ(8 − 2)。
好习惯是先在每一部分旁边写下它的结构，再做别的事。除以一个分数，就变成乘以它的倒数，这样约分就一目了然。
例题
化简 (x² − x − 12)/(x² − 9) ÷ (x − 4)/(x + 3)。
第 1 步，分解每一部分： x² − x − 12 = (x − 4)(x + 3)，x² − 9 = (x − 3)(x + 3)。
第 2 步，把除法变成乘法： 表达式变成 (x − 4)(x + 3)/((x − 3)(x + 3)) × (x + 3)/(x − 4)。
第 3 步，约去相同的因式： (x − 4) 约掉，分子中的一个 (x + 3) 与分母中的 (x + 3) 约掉。剩下 (x + 3)/(x − 3)。
第 4 步，注明限制： 原表达式在 x = 3、x = −3 和 x = 4 时没有定义。
答案： (x + 3)/(x − 3)。
用 x = 5 检验： 原式是 (25 − 5 − 12)/(25 − 9) ÷ (1/8) = (8/16) × 8 = 4。答案给出 8/2 = 4。两者一致。
要提防的错误
常见的失误是约去相加的项，而不是相乘的因式。
错误写法： (x² − x − 12)/(x² − 9) = (−x − 12)/(−9)
学生把上下两行的 x² 划掉，好像它是一个因式。
纠正方法是先因式分解。只有同时乘在整个分子或整个分母上的括号才能约去。代入一个数，例如 x = 5，就能看出错误答案给出 17/9，而原式是 8/16，也就是 1/2。
自我检测
先不用计算器做，再打开答案。
1. 化简 (x² − 16)/(x² + x − 12)。
显示答案
x² − 16 = (x − 4)(x + 4)，x² + x − 12 = (x + 4)(x − 3)。约去 (x + 4)：(x − 4)/(x − 3)。检验 x = 5：9/18 = 1/2，答案也给出 1/2。
2. 化简 (2ⁿ⁺³ − 2ⁿ⁺¹)/2ⁿ。
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2ⁿ⁺³ = 8 × 2ⁿ，2ⁿ⁺¹ = 2 × 2ⁿ。所以分子是 2ⁿ(8 − 2) = 6 × 2ⁿ，除以 2ⁿ 得 6。检验 n = 1：(16 − 4)/2 = 6。
3. 不用计算器，求 37 × 43 + 37 × 57。
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提出公因数 37：37 × (43 + 57) = 37 × 100 = 3700。检验：1591 + 2109 = 3700。
接下来学什么
结构识别变快之后，继续学解释计算器无法给出的证明步骤。二次式结构探索器展示二次式如何分解以及原因，免计算器演算训练器则让你练习精确的步骤。
有些学生单独分解没问题，可表达式一长就看不出因式。老师在一对一线上附加数学补习中训练的，正是这种第一眼的扫视。