要求曲线与 x 轴之间的面积，先对函数积分，再用上限的值减去下限的值。本课处理始终在 x 轴上方的曲线，下一课再处理穿过 x 轴的曲线。
这项技能出现在微积分题的后半部分，前面已经练过微分和积分。它是面积与运动的第一课，需要用到正确积分幂函数并处理常数和用正确上下限计算定积分。
积分究竟在衡量什么？
想象把区域切成很多非常薄的竖条。每一条的高度是 y，宽度很小，所以面积约为 y × 宽度。把 x = a 到 x = b 的所有竖条加起来，就得到 y 从 a 到 b 的定积分。
如果 F 是 y 的原函数，面积就是 F(b) − F(a)。积分常数会抵消，所以不必写。
面积题的书写步骤
- 确定上下限。 用题目给的 x 值；如果区域由曲线和轴围成，就解 y = 0。
- 快速画草图。 确认曲线在上下限之间位于 x 轴上方。跳过这一步，就会漏掉符号变化。
- 积分每一项：幂加一，再除以新的幂。
- 先代入上限，再代入下限，各自放在括号里。
- 相减并化简。如果题目有单位，答案写平方单位。
例题
求曲线 y = 3x² + 2、x 轴以及直线 x = 1 和 x = 3 之间的面积。
第 1 步，上下限： x = 1 和 x = 3。曲线 3x² + 2 恒为正，所以始终在轴上方。
第 2 步，积分： 3x² 变成 x³，2 变成 2x，所以 F(x) = x³ + 2x。
第 3 步，上限： F(3) = 27 + 6 = 33。
第 4 步，下限： F(1) = 1 + 2 = 3。
第 5 步，相减： 33 − 3 = 30。
面积 = 30 平方单位。
检查： x = 1 时高度为 5，x = 3 时高度为 29，宽度是 2，所以面积应介于 10 和 58 之间。曲线向上弯，面积会略小于梯形面积 (5 + 29)/2 × 2 = 34，30 符合。
要留意的错误
常见的失误是只代入上限就停下来。
错误答案： F(3) = 33，所以面积是 33。
学生把积分当成“到 x = 3 为止的面积”，忘了区域是从 x = 1 开始的。
纠正方法是每次都写出两个括号：F(3) − F(1)。下限会去掉 x = 1 左边的面积。这里它的值是 3，所以答案从 33 降到 30。
自我检测
先在纸上做，再打开每个答案。
1. 求 y = 2x + 3、x 轴、x = 0 和 x = 4 之间的面积。
显示答案
F(x) = x² + 3x。F(4) = 16 + 12 = 28，F(0) = 0。面积 = 28 − 0 = 28。
用梯形检查：高度 3 和 11，宽度 4，所以 ½ × (3 + 11) × 4 = 28。
28 平方单位
2. 求 y = √x 在 x = 0 到 x = 9 之间的面积。
显示答案
把 √x 写成 x1/2。F(x) = (2/3) x3/2。F(9) = (2/3) × 27 = 18，F(0) = 0。
18 平方单位
3. 曲线 y = x(4 − x) 与 x 轴交于两点。求曲线与轴围成的区域面积。
显示答案
根为 x = 0 和 x = 4，两根之间曲线在轴上方。展开：y = 4x − x²。F(x) = 2x² − x³/3。
F(4) = 32 − 64/3 = 32/3，F(0) = 0。
32/3 平方单位（10⅔）
接下来学什么
下一课看面积符号改变时该怎么办，然后用无计算器步骤训练器练习上下限里的分数运算。二次函数结构探索器可以帮你在积分前找出根并画出抛物线草图。
如果你积分没问题，却难以判断题目要什么，一对一线上附加数学补习的老师可以用你自己的练习卷，一题一题带你读懂题目问的是哪个量。