**线性化（linearisation）**指把关系式改写，使两个选定的量（记作 Y 和 X）满足 Y = mX + c。如果画出的点落在一条直线上，就证实了这个关系，斜率和截距则给出常数。
这项内容属于直线与线性化。附加数学常考斜率和截距，用的就是这项技能。
如何决定作图的量？
把给定公式与 Y = mX + c 对照，匹配形式。前面乘着常数的那个量成为 X，单独的常数项成为 c。有时需要先两边同乘或同除。
| 关系式 | Y 对 X 作图 | 斜率 | 截距 |
|---|---|---|---|
| y = ax² + b | y 对 x² | a | b |
| y = a/x + b | y 对 1/x | a | b |
| y = ax³ + b | y 对 x³ | a | b |
| y = ax + b/x | xy 对 x² | a | b |
最后一行要两边同乘 x：xy = ax² + b。像 y = axn 和 y = abx 这类关系需要用到对数，请看线性化指数关系。
例题详解
y = px² + q 的数据记录在下表。
| x | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|
| y | 7 | 13 | 23 | 37 |
第一步，选轴： 用 y 对 x² 作图，所以 X = x²。
第二步，新增一行： x² = 1, 4, 9, 16。
第三步，检验是否成直线： X 从 1 到 4 的斜率为 (13 − 7) ÷ (4 − 1) = 2。从 4 到 9 为 (23 − 13) ÷ (9 − 4) = 2。从 9 到 16 为 (37 − 23) ÷ (16 − 9) = 2。斜率恒定，所以这些点在一条直线上。
第四步，常数： p = 2。代入 (1, 7)：7 = 2(1) + q，所以 q = 5。
结果： y = 2x² + 5。检验： x = 3 时，2(9) + 5 = 23。
要留意的错误
常见的失误是图像用的是 x²，斜率却用原来的 x 值来算。
错误的做法： 用 x = 2 和 x = 4，m = (37 − 13) ÷ (4 − 2) = 12
学生减的是 x 值（2 和 4），而不是 X 值（4 和 16）。
更正的方法是把转换后的一行加进表格，所有斜率只从这一行读取。用 X = 4 和 16，斜率为 (37 − 13) ÷ (16 − 4) = 24 ÷ 12 = 2，与正确答案一致。
自我检测
1. 关系式为 y = a/x + b。说明两条坐标轴各画什么，以及斜率和截距各代表什么。
显示答案
纵轴画 y，横轴画 1/x。斜率是 a，截距是 b。
2. 数据满足 y = ax³ + b。x = 1 时 y = 3，x = 2 时 y = 17。求 a 和 b。
显示答案
X = x³，得 X = 1 和 X = 8。斜率 a = (17 − 3) ÷ (8 − 1) = 14 ÷ 7 = 2。再由 3 = 2(1) + b 得 b = 1。
a = 2，b = 1。 检验：2(8) + 1 = 17。
3. 对于 y = ax + b/x，xy 对 x² 的图像经过 (1, 9) 和 (9, 17)。求 a 和 b。
显示答案
斜率 = (17 − 9) ÷ (9 − 1) = 8 ÷ 8 = 1，所以 a = 1。截距：9 = 1(1) + b，所以 b = 8。
a = 1，b = 8，即 y = x + 8/x。检验 x = 3：xy = 9 + 8 = 17。
接下来学什么
会线性化之后，就可以在只给出图像或两个读数时，由斜率和截距还原模型常数。免计算器演算训练器适合练习精确的分数斜率，练习题会把这几种形式混合出题。
如果你总卡在「每条轴该放什么」，我们的老师可以在线上一对一附加数学补习中，用新的关系式陪你一题一题练习。