代入前先化简

代入前先化简，是指用恒等式或除法，把式子约简成题目给定的那个比值。这样更省时间，也能避开根号。当题目给出 tan x、sin x 或 cos x，并要求一个较长式子的值时，就会用到这项技能。

这一课建立在证明恒等式之上，属于三角恒等式模块。

为什么比长路线更短？

假设 tan x = 3，要求 (2 sin x + cos x) / (sin x − cos x)。长路线是先求出 sin x = 3/√10 和 cos x = 1/√10，再代入，再化去根号。

短路线注意到每一项都只含一个 sin 或 cos。把分子和分母都除以 cos x，得到只含 tan x 的式子，就没有别的要求了。

怎样先化简？

1. 列出已知和所求。 例如：已知 tan x，所求是混合式子。
2. 选工具。 除以 cos x 引入 tan x；用 sin²x + cos²x = 1 降低平方；用 1 + tan²x = sec²x 引入 sec。
3. 每一项都要除或替换。 别忘了分母。
4. 把给定的值代入化简后的式子。
5. 检查。 如果时间允许，用直角三角形核对。

例题

已知 tan x = 3，求 (2 sin x + cos x) / (sin x − cos x) 的值。

第 1 步，选工具： 每一项只含一个 sin 或 cos，所以分子分母同除以 cos x。

第 2 步，相除： (2 sin x / cos x + cos x / cos x) / (sin x / cos x − cos x / cos x) = (2 tan x + 1) / (tan x − 1)。

第 3 步，代入： (2 × 3 + 1) / (3 − 1) = 7 / 2。

答案：7/2。

用三角形核对：tan x = 3，对边 3，邻边 1，斜边 √10。于是 sin x = 3/√10，cos x = 1/√10，式子为 (6/√10 + 1/√10) / (3/√10 − 1/√10) = 7/2。两种方法一致。

要提防的错误

常见的失误是把 tan x = 3 读成 sin x = 3 和 cos x = 1。

错误做法： tan x = 3，所以 sin x = 3，cos x = 1。于是 sin x cos x = 3 × 1 = 3。

学生把比值当成了边长。

上面的例题用这种错误做法碰巧得到正确答案，因为分子和分母每一项的次数相同。

但求 sin x cos x 时，这个做法得出 3，这是不可能的：sin x cos x 不会超过 1/2。正确路线是 sin x cos x = tan x cos²x = tan x / (1 + tan²x) = 3/10，因为 1/cos²x = 1 + tan²x。三角形核对：(3/√10)(1/√10) = 3/10。

自我检测

1. 已知 tan x = 1/2，求 (sin x − cos x) / (sin x + cos x)。

2. 化简 sin x / (1 − cos²x)。

3. 已知 sin x = 0.6，x 是钝角，求 cos x 和 tan x。

接下来学什么

接着学写出三角恒等式的排除值，因为这一课里除以 cos x 已经悄悄假设了 cos x ≠ 0。免计算器演算训练器和二次结构探索器对代数部分很有帮助。

如果你总是先选了最长的做法，才发现除以 cos x 就够了，一对一线上附加数学补习的老师可以教你开始做题前先看有没有捷径。