由横截面求棱柱体积

棱柱的体积是横截面面积 × 长度。横截面是你从一端看到的形状，长度是两个相同端面之间的距离。

每道体积题都会用到它，而它建立在面积、周长与表面积的技能之上。这是体积与容量的第一课。

为什么横截面乘长度行得通？

想象一叠相同的卡纸，每张的形状都和端面一样。这叠卡纸的体积，就是一张的面积乘以能叠多少张，也就是长度。

所以任务拆成两个小任务。先求端面形状的面积，再乘以朝另一个方向延伸的长度。

处理棱柱题的步骤

1. 找出两个相同的端面。 这就是你的横截面。
2. 用合适的公式求它的面积。 梯形面积 = ½ × (a + b) × h，其中 a、b 是平行边，h 是垂直高度。
3. 找出长度，也就是两端之间的距离。
4. 把面积乘以长度。
5. 写上立方单位，例如 cm³。

例题详解

一个棱柱的横截面是梯形。

平行边是 7 cm 和 10 cm，两平行边之间的垂直距离是 4 cm，斜边是 5 cm。棱柱长 15 cm。求它的体积。

第一步，横截面： 这个梯形。

第二步，面积： ½ × (7 + 10) × 4 = ½ × 17 × 4 = 34 cm²。

第三步，长度： 15 cm。

第四步，体积： 34 × 15 = 510 cm³。

斜边 5 cm 虽然给了，但用不上。题目常会附上一个不需要使用的数据。

要留意的错误

常见的失误是把斜边当成梯形的高。

错误做法： ½ × (7 + 10) × 5 = 42.5，再 42.5 × 15 = 637.5 cm³

5 cm 这条边是斜的，不是垂直高度。

改正的方法是问：这个长度是否与平行边成直角？这里只有 4 cm 是，所以答案是 510 cm³。在草图上画一个小小的直角符号是个好习惯。

自我检测

先试做，再打开答案核对。

1. 一个三棱柱的端面是直角三角形，底 8 cm，垂直高 6 cm。棱柱长 10 cm。求体积。

2. 一个棱柱的端面是 5 cm × 4 cm 的长方形，其中一个角被切去 2 cm × 2 cm 的正方形。棱柱长 9 cm。求体积。

3. 一级混凝土台阶是棱柱，横截面面积 2.5 m²，长 6 m。它的体积是多少？

下一步

下一步是处理圆柱与圆锥，那时横截面变成圆。无计算器运算训练可以用来练习运算。

数学线上一对一补习的老师几分钟就能看出你是不是选错了横截面，再用不同的端面形状带你练。