Pada selang terhad, nilai terbesar dan terkecil sesuatu fungsi berlaku sama ada pada titik pegun di dalam selang atau pada titik hujung. Kira fungsi pada setiap calon dan bandingkan.
Pelajaran ini memanjangkan mengelaskan kelakuan pegun dan menyediakan anda untuk menaakul domain dalam mentafsir nilai optimum. Ia terletak dalam titik pegun dan pengoptimuman.
Mengapa tepi boleh menang?
Titik pusingan hanya memberitahu bahawa lengkung bertukar arah di situ. Ia tidak memberitahu apa yang berlaku lebih jauh. Jika lengkung masih menaik apabila selang berakhir, nilai tertinggi berada di hujung.
Bayangkan berjalan melepasi sebuah bukit kecil pada laluan yang kemudian terus mendaki. Puncak bukit kecil itu ialah maksimum setempat, tetapi tempat tertinggi pada seluruh laluan ialah hujung yang jauh.
Cara mencari nilai terbesar dan terkecil, langkah demi langkah
- Cari nilai x pegun dengan dy/dx = 0.
- Simpan hanya yang berada di dalam selang. Buang yang lain.
- Kira y pada setiap x pegun yang disimpan dan pada kedua-dua titik hujung.
- Senaraikan nilai dalam jadual ringkas.
- Pilih yang terbesar dan terkecil dan nyatakan di mana setiap satu berlaku.
Contoh berlangkah
Cari nilai terbesar dan terkecil bagi y = x³ − 6x² + 9x + 2 untuk 0 ≤ x ≤ 5.
Langkah 1, titik pegun: dy/dx = 3x² − 12x + 9 = 3(x − 1)(x − 3), jadi x = 1 atau x = 3. Kedua-duanya berada di dalam selang.
Langkah 2, nilaikan semua calon:
| x | y |
|---|---|
| 0 (titik hujung) | 2 |
| 1 (pegun) | 1 − 6 + 9 + 2 = 6 |
| 3 (pegun) | 27 − 54 + 27 + 2 = 2 |
| 5 (titik hujung) | 125 − 150 + 45 + 2 = 22 |
Langkah 3, bandingkan: nilai terbesar dalam jadual ialah 22 dan nilai terkecil ialah 2.
Jawapan: nilai terbesar ialah 22, pada x = 5, dan nilai terkecil ialah 2, pada x = 0 dan x = 3.
Maksimum setempat 6 pada x = 1 bukan nilai terbesar pada selang ini.
Kesilapan yang perlu diawasi
Kesilapan lazim ialah membandingkan nilai pegun sahaja.
Jawapan yang salah: nilai terbesar 6, nilai terkecil 2, kerana itulah nilai pegun.
Pelajar tidak pernah menguji x = 5, tempat lengkung jauh lebih tinggi.
Pembetulannya ialah menganggap titik hujung sebagai calon setiap kali soalan memberi selang seperti 0 ≤ x ≤ 5. Jadual x dan y untuk semua calon hanya mengambil seminit dan mengelakkan kesilapan ini.
Semak kendiri
Cuba soalan ini tanpa kalkulator, kemudian buka setiap jawapan.
1. Cari nilai terbesar dan terkecil bagi y = x² − 4x + 1 untuk 0 ≤ x ≤ 5.
Tunjuk jawapan
dy/dx = 2x − 4 = 0 memberi x = 2, y = 4 − 8 + 1 = −3. Titik hujung: x = 0 memberi y = 1 dan x = 5 memberi y = 25 − 20 + 1 = 6.
Terbesar 6 (pada x = 5), terkecil −3 (pada x = 2)
2. Cari nilai terbesar dan terkecil bagi y = x³ − 3x untuk −2 ≤ x ≤ 3.
Tunjuk jawapan
dy/dx = 3x² − 3 = 0 memberi x = 1 atau x = −1, kedua-duanya di dalam selang. y(1) = −2 dan y(−1) = 2. Titik hujung: y(−2) = −8 + 6 = −2 dan y(3) = 27 − 9 = 18.
Terbesar 18 (pada x = 3), terkecil −2 (pada x = 1 dan x = −2)
3. Cari nilai terbesar dan terkecil bagi y = 12x − x² untuk 0 ≤ x ≤ 4.
Tunjuk jawapan
dy/dx = 12 − 2x = 0 memberi x = 6, yang berada di luar selang, jadi abaikannya. Titik hujung: y(0) = 0 dan y(4) = 48 − 16 = 32.
Terbesar 32 (pada x = 4), terkecil 0 (pada x = 0)
Ke mana selepas ini
Seterusnya, tafsir nilai optimum dengan unit dan domain untuk menulis jawapan dalam konteks. Latihan kerja tanpa kalkulator membantu anda menyemak pengiraan di titik hujung.
Jika anda sering terlupa titik hujung apabila masa suntuk, guru dalam tuisyen Matematik Tambahan satu dengan satu boleh membina rutin semakan berdasarkan kerja anda sendiri.