在限定区间上，函数的最大值和最小值，要么出现在区间内的驻点，要么出现在端点。把每个候选点的函数值算出来再比较。
这一课延伸判断驻点类型，并为解释最优值中的定义域推理做准备。它属于驻点与最优化单元。
为什么边缘也可能胜出？
转折点只说明曲线在那里改变方向，并没有说明之后会怎样。如果区间结束时曲线仍在上升，最高值就在端点。
想象一条路先翻过一个小山丘，之后继续上坡。山丘顶是局部最大值，但整条路最高的地方是远处的尽头。
怎样一步步求最大值和最小值
- 用 dy/dx = 0 求驻点的 x 值。
- 只保留区间内的，其余舍去。
- 计算 y：保留的每个驻点的 x，以及两个端点。
- 列成简短的表格。
- 选出最大和最小的值，并写明它们出现在哪里。
例题
求 y = x³ − 6x² + 9x + 2 在 0 ≤ x ≤ 5 上的最大值和最小值。
**第 1 步，驻点：**dy/dx = 3x² − 12x + 9 = 3(x − 1)(x − 3)，所以 x = 1 或 x = 3，两个都在区间内。
第 2 步，计算所有候选点：
| x | y |
|---|---|
| 0（端点） | 2 |
| 1（驻点） | 1 − 6 + 9 + 2 = 6 |
| 3（驻点） | 27 − 54 + 27 + 2 = 2 |
| 5（端点） | 125 − 150 + 45 + 2 = 22 |
**第 3 步，比较：**表中最大的值是 22，最小的是 2。
**答案：**最大值是 22，出现在 x = 5；最小值是 2，出现在 x = 0 和 x = 3。
x = 1 处的局部最大值 6，并不是这个区间上的最大值。
要留意的错误
常见的失误是只比较驻点的值。
**错误答案：**最大值 6，最小值 2，因为这些是驻点的值。
学生从来没有检验 x = 5，而曲线在那里高得多。
纠正的办法是：只要题目给了区间，例如 0 ≤ x ≤ 5，就把端点当作候选点。为所有候选点列一张 x 与 y 的表只需要一分钟，就能避免这个错误。
自我检测
不用计算器做下面的题，再打开答案。
1. 求 y = x² − 4x + 1 在 0 ≤ x ≤ 5 上的最大值和最小值。
显示答案
dy/dx = 2x − 4 = 0，得 x = 2，y = 4 − 8 + 1 = −3。端点：x = 0 时 y = 1；x = 5 时 y = 25 − 20 + 1 = 6。
最大值 6（x = 5），最小值 −3（x = 2）
2. 求 y = x³ − 3x 在 −2 ≤ x ≤ 3 上的最大值和最小值。
显示答案
dy/dx = 3x² − 3 = 0，得 x = 1 或 x = −1，都在区间内。y(1) = −2，y(−1) = 2。端点：y(−2) = −8 + 6 = −2，y(3) = 27 − 9 = 18。
最大值 18（x = 3），最小值 −2（x = 1 和 x = −2）
3. 求 y = 12x − x² 在 0 ≤ x ≤ 4 上的最大值和最小值。
显示答案
dy/dx = 12 − 2x = 0，得 x = 6，在区间之外，所以忽略。端点：y(0) = 0，y(4) = 48 − 16 = 32。
最大值 32（x = 4），最小值 0（x = 0）
接下来学什么
下一步，结合单位和定义域解释最优值，把答案写进情境里。免计算器演算训练器适合用来检查端点的运算。
如果你在时间压力下总忘记边缘情况，一对一附加数学补习可以根据你自己的解题过程，建立一套检查习惯。