运用负指数的指数定律

指数定律（index laws）说明同底数的幂如何合并，IGCSE 数学试卷常考负指数和分数指数。负指数表示“取倒数”，分数指数表示“开根”。 这两个想法掌握后，其余就是你已经认识的那组定律。

这一课是指数、根号与标准式的起点，也为之后的代数打下基础，因为同样的定律也适用于字母。

指数定律有哪些？

a 代表任何非零底数，m 和 n 代表指数。

负指数定律来自除法定律。2² ÷ 2⁵ = 2⁻³，完整写出来就是 (2 × 2) / (2 × 2 × 2 × 2 × 2) = 1/8。所以 2⁻³ = 1/8。

分数的负指数怎么处理？

先把分数倒过来，再去掉负号。(2/3)⁻² = (3/2)² = 9/4。这比先算 1/(2/3)² 更快，答案相同。

对于分数指数 m/n，先取 n 次方根，再取 m 次方。先开根在计算上更轻松，因为数字保持较小。

例题详解

求 (4/9)^−3/2 的精确值。

第一步，处理负号。 把分数倒过来并去掉负号：(4/9)^−3/2 = (9/4)^3/2。

第二步，处理指数的分母。 2 表示平方根：√(9/4) = 3/2。

第三步，处理分子。 3 表示立方：(3/2)³ = 27/8。

第四步，换个方法检查。 √(4/9) = 2/3，(2/3)³ = 8/27。负号表示倒数，所以值是 27/8。两条路线结果一致。

答案：27/8。 除非题目要求小数，否则保留精确分数。

要留意的错误

常见的失误是把负号当成让数变成负数。

错误解法： 2⁻³ = −8

学生先算 2 × 2 × 2，再把指数里的负号贴到结果上。

改正的方法：指数里的负号属于计算的方向，不属于答案。2⁻³ = 1/2³ = 1/8。

一个快速检验：正的底数不论取正指数还是负指数，结果永远是正数。如果你算出 2⁻³ 小于零，就说明解法出错了。

自我检测

先不用计算器试做，再打开答案核对。

1. 求 4⁻² 的值。

2. 求 (2/5)⁻² 的值。

3. 若 2ⁿ = 1/32，求 n。

下一步

接着看负指数如何出现在测量中：把很小的测量值写成标准式。想做综合题时，用指数、根号与标准式练习题组。无计算器运算训练可以让你不依赖计算器来检查精确的步骤。

有些学生能背出定律，但在压力下用错了规则。数学线上一对一补习的老师可以从你的步骤里很快看出，是哪一条定律出了问题。