估算标准式答案的大小

估算标准式的答案时，把每个数取一位有效数字，再分开处理数字和 10 的幂。数字给出答案的前半部分，指数定律给出幂。这比在计算器上按两遍更省时间。

这一课用到运用指数定律和比较不同 10 的幂的数量大小的技能。

怎样一步步估算？

1. 把每个小数部分取 1 位有效数字。 10 的幂不动。
2. 按题目的运算合并数字。
3. 用指数定律合并 10 的幂：乘法时相加，除法时相减。
4. 把两部分合起来，必要时转成标准式。
5. 与精确答案比较。 指数应该一致，首位数字应该相近。

例题详解

估算 (4.8 × 10⁶) × (2.1 × 10⁻³) ÷ (5.9 × 10²)。然后求精确值。

第一步，取近似。 4.8 → 5，2.1 → 2，5.9 → 6。估算式为 (5 × 10⁶) × (2 × 10⁻³) ÷ (6 × 10²)。

第二步，数字部分。 5 × 2 ÷ 6 = 10/6 ≈ 1.7。

第三步，指数部分。 10⁶ × 10⁻³ ÷ 10² = 10^{6 − 3 − 2} = 10¹。

第四步，估算值。 大约 1.7 × 10¹ = 17。

第五步，精确值。 4.8 × 2.1 = 10.08，10.08 ÷ 5.9 = 1.7085…。指数为 10⁶⁻³⁻² = 10¹。所以精确答案是 1.7085… × 10¹ ≈ 1.71 × 10¹，即 17.1（3 位有效数字）。与估算值 17 吻合。

要留意的错误

常见的失误是按错计算器，而学生在显示屏上看不出来。

错误的计算器输入： 4.8 × 10⁶ × 2.1 × 10⁻³ ÷ 5.9 × 10²

最后一项没加括号，计算器会先除以 5.9，再乘以 10²。显示约为 1.71 × 10⁵。

改正的方法：与约 17 的估算值比较。1.71 × 10⁵ 比它大了一万倍，说明输入有问题。把整个分母加上括号，或使用分数键，显示就会是 17.1（3 位有效数字），这就合理了。

自我检测

先不用计算器试做，再打开答案核对。

1. 估算 (3.9 × 10⁵) × (2.1 × 10⁴)，写成标准式。

2. 估算 (9.7 × 10⁻³) ÷ (2.1 × 10⁻⁶)。

3. 一位学生说 (6.2 × 10⁸) × (3.1 × 10⁻⁵) = 1.922 × 10¹³。用估算说明这是错的，并给出正确的值。

下一步

估算与精确度、界限与测量直接相关，在那里你要判断答案需要多精确。想把整个单元一起练习，请用综合练习题组。无计算器运算训练支持同样的手算检查习惯。

如果计算器的失误总是让你丢分，而且事后才发现，数学线上一对一补习能让老师陪你建立检查的步骤。