本套练习有十一道原创题，由易到难，涵盖International Mathematics 建模的全部五课。第 1 至 3 题是建立设定，第 4 至 7 题是拟合与解读，第 8 至 11 题是比较与外推。
每道题都先在纸上做，题目要求解释的地方要写完整的句子。做完再打开答案。用错题记录与重测队列记下做错的题。
题目
1. 一家快递公司收固定费用 RM6，另外每公斤包裹重量收 RM2.50。定义合适的变量，并写出费用的模型。
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设 C 为费用（令吉），w 为重量（kg），w ≥ 0。固定费用只付一次，比率保持每公斤 RM2.50。
模型：C = 6 + 2.5w。
2. 用第 1 题的模型，求 8 kg 包裹的费用，以及费用为 RM41 的包裹的重量。
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w = 8 时：2.5 × 8 = 20，C = 6 + 20 = RM26。
C = 41 时：6 + 2.5w = 41，2.5w = 35，w = 35 ÷ 2.5 = 14 kg。检查：2.5 × 14 = 35，35 + 6 = 41。
3. 写出第 1 题模型背后的两条假设，并说明如果其中一条不成立，模型会怎样。
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两条假设：无论多重，比率都保持每公斤 RM2.50；每个包裹的固定费用相同。如果快递公司对重包裹给折扣，比率就会改变，一条直线方程就不再能描述费用。
4. 一株植物的高度 h（cm）在第 1 至 4 周末分别测得：8.2、10.1、11.9、14.2。用第一个和最后一个读数拟合直线模型，并求第 2 周和第 3 周的差距。
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斜率 = (14.2 − 8.2) ÷ (4 − 1) = 6 ÷ 3 = 2。用 (1, 8.2)：8.2 = 2 + c，c = 6.2。模型：h = 2w + 6.2。
第 2 周：模型 10.2，实测 10.1，差距 −0.1。第 3 周：模型 12.2，实测 11.9，差距 −0.3。差距很小，所以这条直线拟合得合理。
5. 一瓶洗手液有 500 mL。读数显示 10 天后剩 440 mL，20 天后剩 380 mL。求线性模型 V = 500 − kt，V 的单位是 mL，t 的单位是天。
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从 500 到 440，10 天内减少 60 mL，所以 k = 6。用第 20 天检验：500 − 6 × 20 = 500 − 120 = 380，吻合。
模型：V = 500 − 6t。
6. 带单位解读第 5 题中的数字 500 和 6，并求这瓶洗手液何时用完。
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500 是 t = 0 时的体积，所以瓶子一开始有 500 mL。6 表示体积每天减少 6 mL。
令 V = 0：6t = 500，t = 500 ÷ 6 = 83.33…，约 83.3 天。
7. 一个停车场的收费是 P = 4.5 + 0.8h，P 的单位是令吉，h 是停车小时数。解读 4.5 和 0.8，并求停 3.5 小时的费用。
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4.5 是 h = 0 时的收费，所以是固定的入场费 RM4.50。0.8 表示每多停一小时，收费增加 RM0.80。
h = 3.5 时：0.8 × 3.5 = 2.8，所以 P = 4.5 + 2.8 = RM7.30。
8. 一条巴士路线的模型是 T = 10 + 2.4d，T 的单位是分钟，d 是距离（km）。15 km 的实际用时是 52 分钟。求残差和百分比误差，并说明模型是高估还是低估。
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预测：10 + 2.4 × 15 = 10 + 36 = 46 分钟。残差 = 52 − 46 = +6 分钟。
百分比误差 = 6 ÷ 52 × 100 = 11.53…，约 11.5%。残差为正，所以模型低估。
9. 对另一个模型，x = 1、2、3 时的残差是 +2、+5、+9。这个规律说明什么？
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残差全为正并且不断增大，所以 x 变大时，模型低估得越来越多。斜率可能偏小，或者真实关系是弯曲的。好的模型，其残差应分布在零的两侧，没有规律。
10. 用第 5 题的模型预测 t = 100 天的体积。计算并评论。
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V = 500 − 6 × 100 = 500 − 600 = −100 mL。体积不可能是负数，所以这个预测不可能成立。
数据只到第 20 天，所以这是外推。瓶子在约 83.3 天时用完，模型只适用于 0 ≤ t ≤ 83.3。
11. 某个量的两个读数是 (2, 11) 和 (5, 20)。求线性模型，预测 x = 10 时的 y，并评论其可靠性。
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斜率 = (20 − 11) ÷ (5 − 2) = 9 ÷ 3 = 3。用 (2, 11)：11 = 6 + c，c = 5。模型：y = 3x + 5。
x = 10 时：3 × 10 + 5 = 35。数据只覆盖 x = 2 到 5，所以这是外推。只有两个点，无法检验直线是否适合这组数据，所以预测很弱。
如果你做错了
把错误类型对应到能修补它的那一课。
- 第 1 至 3 题，设定： 见为模型定义变量与假设。
- 第 4 和 5 题，拟合直线： 见用给定数据拟合简单模型。
- 第 6 和 7 题，单位与含义： 见带单位解读参数。
- 第 8 和 9 题，残差： 见比较预测值与实测值。
- 第 10 和 11 题，数据之外的预测： 见解释外推为什么可能失败。
百分比基数探索器可以帮助做第 8 题，免计算器解题训练器可以帮助检查第 2 和第 6 题的算术。如果你想请老师检查你写的解释，一对一线上数学补习可以做到这一点。