选择高效的分数运算方法

高效的分数方法就是最短的正确路线：相乘前先约分，只在加减时才通分，除法则改成乘以倒数（reciprocal）。动笔前先选好路线，就是五行答案和两页答案的差别。

这项技能属于无计算器策略，建立在数感与精确运算的基础上。

怎样选择方法？

先看运算，再看数字。

1. 乘法： 找分子与任一分母之间的公因数，相乘前先约分。
2. 除法： 改写成乘以第二个分数的倒数，然后约分。
3. 加减法： 找公分母，最好是最小的。把每个分数通分，然后只合并分子。
4. 带分数： 相乘或相除前，先化成假分数。

倒数这一步只用在你“除以”的那个分数上，第一个分数保持原样。

例题详解

计算 3/4 ÷ 2/5，答案写成带分数。

第一步，选方法： 这是除法，所以乘以 2/5 的倒数。

第二步，改写： 3/4 ÷ 2/5 = 3/4 × 5/2。

第三步，看能否约分： 3 和 2 没有公因数，5 和 4 也没有。直接相乘。

第四步，相乘： (3 × 5) / (4 × 2) = 15/8。

第五步，转换： 15/8 = 1 7/8。

第六步，检查： 3/4 = 0.75，2/5 = 0.4，而 0.75 ÷ 0.4 = 1.875，与 1 7/8 一致。

再看一个先约分更划算的例子：8/15 × 5/12。8 与 12 约分得 2 和 3，5 与 15 约分得 1 和 3，结果是 (2 × 1) / (3 × 3) = 2/9。

如果先乘，会得到 40/180，还要做一长串化简。

要留意的错误

常见的错误是乘以原来的第二个分数，而不是它的倒数。

错误做法： 3/4 ÷ 2/5 = 3/4 × 2/5 = 6/20 = 3/10

除号改成了乘号，但第二个分数没有颠倒。

答案 3/10 比 3/4 还小，可是除以一个小于 1 的分数，答案必须变大。快速看一下大小就能发现问题。正确做法是把 2/5 颠倒成 5/2，得到 15/8。

自我检测

先不用计算器试做，再打开答案核对。

1. 计算 7/9 × 3/14，先约分。

2. 计算 2/3 ÷ 4/9。

3. 计算 7/10 − 1/4。

下一步

接下来，看看为什么保持精确值比过早四舍五入更好。准备好后，用无计算器策略练习题组检测整个单元。无计算器运算训练能让你测试各种步骤选择，百分比基数探索器则用于连续百分比变化。

规则都会却总走长路线的学生，通常需要有人看着自己每题的第一步。我们的老师可以在数学线上一对一补习中做这件事，帮你选出更短的路线。