使用线性比例因子

线性比例因子是把每个长度乘以的那个数，用来从一个相似图形变到另一个：比例因子 = 新长度 ÷ 旧长度。三角形、长方形、比例模型和地图都适用同样的方法。

它建立在找出对应边之上，所以请先确认对应关系正确。

为什么是乘而不是加？

相似图形保持比例，所以每个长度都按同一个因子缩放。如果一条边变成两倍，所有边都变成两倍。给每条边加上同样的数量，会改变图形的形状。

想想把一页纸按 150% 复印。10 cm 的线变成 15 cm，4 cm 的线变成 6 cm。它们增加的厘米数不同，但增加的倍数相同，都是 1.5。

方法

1. 找出对应边的各对边。
2. 找到一对已知的边，也就是两个长度都给出的那一对。
3. 算出比例因子，新 ÷ 旧，并判断它应该大于还是小于 1。
4. 把要缩放的长度乘以这个因子；反方向则除以它。
5. 检查：放大时答案应该更大，缩小时应该更小。

例题详解

两个三角形相似。较小的三角形边长为 4.5 cm、6 cm、7.5 cm。较大三角形的最长边是 12.5 cm。

求较大三角形的另外两条边。

第 1 步，已知的一对。 最长对最长：7.5 cm 和 12.5 cm。

第 2 步，比例因子。 12.5 ÷ 7.5 = 5/3（约 1.667）。

第 3 步，其余的边。 4.5 × 5/3 = 7.5 cm，6 × 5/3 = 10 cm。

第 4 步，检查。 三条边是 7.5、10、12.5，由小到大的顺序与 4.5、6、7.5 一致。另外 7.5 × 5/3 = 12.5，所以因子前后一致。

地图例子。 一张地图的比例尺是 1 : 50 000。一条路在地图上量得 3.2 cm。实际长度 = 3.2 × 50 000 = 160 000 cm。因为 100 cm = 1 m，所以是 1600 m，也就是 1.6 km。

要留意的错误

常见的错误是求出两条对应边的差，然后把这个差加到每条边上。

错误做法： 12.5 − 7.5 = 5，所以每条边加 5：4.5 + 5 = 9.5，6 + 5 = 11。

新的边 9.5、11、12.5 没有保持原来的比例，所以这两个三角形就不相似了。

纠正的办法是除，而不是减。比例因子是一个比 12.5 ÷ 7.5，每条边都乘以它。一个有用的检验：任意两条边的比，在两个三角形中必须保持相同。

自我检测

先自己做，再打开每个答案。

1. 长方形 A 是 8 cm × 5 cm。长方形 B 与它相似，较长的边是 20 cm。求较短的边。

2. 一辆模型车按 1 : 40 的比例制作，模型长 9 cm。真车有多长，以米为单位？

3. 某图形缩小后，18 cm 的边变成 12 cm。7.5 cm 的边会变成多少？

下一步

长度只是其中一种度量。下一步是看同一个因子对面积有什么影响，之后再看体积。地图比例尺、等高线与坡度练习工具和无计算器运算训练可用来多做练习。

有些学生计算没问题，却在哪个图形是“新”、哪个是“旧”上犹豫。数学线上一对一补习的老师可以听你怎样做选择，并修正这个决策点。