这套练习涵盖整个模块：试根、求余式、三次式除法、求未知系数和检验因式分解。题目从较易到较难。请在纸上做，再打开每个答案，逐步比较。
需要复习的课程列在文末。想要更全面的视角，请看多项式的因式与余式，并用无计算器步骤训练器和二次式结构探索器做检查。错题记录与重测队列可以帮你追踪错误类型。
题目
第 1 题 证明 (x − 2) 是 f(x) = x³ + 2x² − 5x − 6 的因式。
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f(2) = 8 + 8 − 10 − 6 = 0。因为 f(2) = 0，所以 (x − 2) 是因式。
第 2 题 求 x³ − 4x + 1 被 (x − 3) 除的余式。
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f(3) = 27 − 12 + 1 = 16。
第 3 题 求 2x³ + 5x² − 3x + 1 被 (x + 2) 除的余式。
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x + 2 = 0 得 x = −2。f(−2) = 2(−8) + 5(4) − 3(−2) + 1 = −16 + 20 + 6 + 1 = 11。
第 4 题 求 k 的值，使 (x + 1) 是 x³ + kx² − 2x − 5 的因式。
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x = −1。f(−1) = −1 + k + 2 − 5 = k − 4 = 0，所以 k = 4。验算：−1 + 4 + 2 − 5 = 0。
第 5 题 求 4x³ − 2x² + x − 3 被 (2x − 1) 除的余式。
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2x − 1 = 0 得 x = ½。f(½) = 4(⅛) − 2(¼) + ½ − 3 = 0.5 − 0.5 + 0.5 − 3 = −5/2（即 −2.5）。
第 6 题 用 (x − 2) 除 x³ − 2x² − 9x + 18，然后完整分解 f(x) = x³ − 2x² − 9x + 18。
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f(2) = 8 − 8 − 18 + 18 = 0，所以 (x − 2) 是因式。系数 1、−2、−9、18，a = 2：1；−2 + 2 = 0；−9 + 0 = −9；18 − 18 = 0。商是 x² − 9 = (x − 3)(x + 3)。所以 f(x) = (x − 2)(x − 3)(x + 3)。展开检验：(x − 2)(x² − 9) = x³ − 9x − 2x² + 18。✓
第 7 题 已知 (x − 2) 是 2x³ + x² − 13x + 6 的因式，解方程 2x³ + x² − 13x + 6 = 0。
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验算 f(2) = 16 + 4 − 26 + 6 = 0。系数 2、1、−13、6，a = 2：2；1 + 4 = 5；−13 + 10 = −3；6 − 6 = 0。商是 2x² + 5x − 3 = (2x − 1)(x + 3)。所以 f(x) = (x − 2)(2x − 1)(x + 3)，解为 x = 2、x = ½、x = −3。检验 x = ½：2(⅛) + ¼ − 6.5 + 6 = 0。✓
第 8 题 多项式 f(x) = x³ + ax² + bx − 4 有因式 (x − 2)。f(x) 被 (x + 1) 除的余式是 −12。求 a 和 b。
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f(2) = 8 + 4a + 2b − 4 = 0，所以 4a + 2b = −4，即 2a + b = −2。f(−1) = −1 + a − b − 4 = −12，所以 a − b = −7。两式相加：3a = −9，所以 a = −3。然后 b = −2 − 2(−3) = 4。所以 a = −3，b = 4。验算：f(x) = x³ − 3x² + 4x − 4，f(2) = 8 − 12 + 8 − 4 = 0，f(−1) = −1 − 3 − 4 − 4 = −12。✓
第 9 题 多项式 3x³ + 4x² − x + c 有因式 (x + 2)。求 c，然后把多项式写成 (x + 2) 与一个二次式的乘积。说明这个二次式在实数范围内能否分解。
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x = −2。f(−2) = −24 + 16 + 2 + c = c − 6 = 0，所以 c = 6。系数 3、4、−1、6，a = −2：3；4 − 6 = −2；−1 + 4 = 3；6 − 6 = 0。商是 3x² − 2x + 3，所以 f(x) = (x + 2)(3x² − 2x + 3)。判别式为 (−2)² − 4(3)(3) = 4 − 36 = −32，是负数。这个二次式在实数范围内不能分解。
第 10 题 有学生声称 4x³ − 8x² − x + 2 = (2x − 1)(2x + 1)(x − 2)。用展开判断这是否正确。
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(2x − 1)(2x + 1) = 4x² − 1。然后 (4x² − 1)(x − 2) = 4x³ − 8x² − x + 2。与原多项式逐项吻合，所以这个说法正确。快速检查：首项系数 2 × 2 × 1 = 4，常数项 (−1)(1)(−2) = 2。✓
如果做错了
| 出了什么问题 | 应复习的课 |
|---|---|
| 把因式变成根时符号错了（第 1、3、4、9 题） | 用已知的根求因式 |
| 代入了错误的值，或在分数上出错（第 2、5 题） | 不做完整除法，直接求余式 |
| 除法那一行写错，或漏掉缺少的次数（第 6、7、9 题） | 用一次因式除三次多项式 |
| 不会把文字变成方程（第 8 题） | 根据条件还原多项式 |
| 展开出错，或没有最后检查（第 10 题） | 用展开检验因式分解 |
如果有两行以上适用于你，就按这个顺序逐课复习。如果你不确定从哪一行开始补，我们的老师可以在一对一线上附加数学补习中看你的书面步骤，帮你排出复习顺序。
做完之后怎么用这套题
建议一周后挑出错过的题重做一遍，不看解答。如果这次全部做对，说明那项技能已经稳定。如果某一题仍然出错，把它记入错题记录与重测队列，并在几天后用一道类似的新题再测一次。
重做时特别留意两件事：每次代入前有没有先写出“令除式为零”这一行，以及做完之后有没有用展开或代入做一次检查。这两个习惯比多做几道题更能减少失误。