用已知的根求因式

因式定理（factor theorem）说：如果把 x = a 代入多项式 f(x) 得到 0，那么 (x − a) 是一个因式。这是在附加数学中开始分解三次多项式最快的办法，凡是题目写“证明 (x − 2) 是因式”或“已知一个根为 3”，都会用到。

这一课开启多项式的因式与余式，并直接连到余数定理。

为什么得到零就得到因式？

如果 f(a) = 0，用 (x − a) 去除 f(x) 没有余数，所以 f(x) = (x − a) × (某个式子)。a 是方程 f(x) = 0 的根（root），对应的因式是 (x − a)。

注意符号。根是 3，因式是 (x − 3)。根是 −2，因式是 (x + 2)，因为 x − (−2) = x + 2。

怎样找要试的根？

1. 写下常数项。 系数为整数的多项式，任何整数根都是常数项的因数。
2. 列出它的因数，正负都要。 6 的因数是 ±1、±2、±3、±6。
3. 逐个代入，直到 f(a) = 0。先试小的数，计算更快。
4. 把根写成因式：写成 (x − a)，并把分数消去。

当首项系数不是 1 时，根可能是分数。对 2x³ + 3x² − 8x + 3，也要试 ½，因为 2 × (½) − 1 = 0 给出因式 (2x − 1)。

例题

已知 f(x) = x³ − 2x² − 5x + 6，求所有一次因式。

第 1 步，候选值： 常数项是 6，所以试 ±1、±2、±3、±6。

第 2 步，试 x = 1： f(1) = 1 − 2 − 5 + 6 = 0。所以 (x − 1) 是因式。

第 3 步，继续试： f(2) = 8 − 8 − 10 + 6 = −4，不是零。f(3) = 27 − 18 − 15 + 6 = 0，所以 (x − 3) 是因式。f(−2) = −8 − 8 + 10 + 6 = 0，所以 (x + 2) 是因式。

第 4 步，找到三个就停： 三次式最多有三个一次因式。

第 5 步，检查常数项： (−1) × (−3) × 2 = 6，与 f(x) 的常数项相符，首项系数 1 也相符。

f(x) = (x − 1)(x − 3)(x + 2)

要留意的错误

当因式带有系数时，容易试错符号。假设题目问 (2x − 1) 是否为 2x³ + 3x² − 8x + 3 的因式。

错误做法： f(−½) = 2(−⅛) + 3(¼) − 8(−½) + 3 = −0.25 + 0.75 + 4 + 3 = 7.5，所以不是因式。

学生解的是 2x + 1 = 0，而不是 2x − 1 = 0。

纠正的办法是先令因式等于零。2x − 1 = 0 得 x = ½，所以试 f(½) = 2(⅛) + 3(¼) − 8(½) + 3 = 0.25 + 0.75 − 4 + 3 = 0。(2x − 1) 是因式。

自我检测

1. 证明 (x − 2) 是 x³ − 3x² + x + 2 的因式。

2. (x + 1) 是 x³ + 2x² − x − 3 的因式吗？

3. 求 k 的值，使 (x − 3) 是 x³ + kx² − x − 6 的因式。

接下来学什么

根给出因式之后，下一个问题是剩下什么。用一次因式除三次多项式教你完成分解，综合练习会同时测试这两项技能。无计算器步骤训练器和二次式结构探索器可以帮你处理算术，以及除完后剩下的二次式。

如果面对陌生三次式时，卡住的正是第一步，那正是我们的老师在一对一线上附加数学补习中会处理的情况。